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数学里的分数是什么？是测量，音乐和数学千丝万缕的联系
电脑技术
2023/1/3 12:11:00
老贾/吉他福
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此主题内容最后修改日期：2023 - 01 - 03 12:16:50
爱因斯坦说：“这个世界是由音乐的音符组成的，也是由数学公式组成的。音符加数学公式，就是真正完整的世界。”
数学中分数的真实含义是什么？像2/3这样的数就叫做分数了，分数的本质含义就是测量。
如果一个数能够用分数表示，就表示这是一个可以测量的数，比如2/3这个数，就是先把一整段平分成3段，然后用其中的一段作为基本单位，测量得2，也就是说有2个基本单位1/3，这就是2/3的含义了。
几千年前的古代数学家，比如毕达哥拉斯，他理解了分数的道理，就开始吹牛了，他说只要给出一个足够小的基本单位，他就能用测量世界万物，可是他牛鼻吹过头了，紧接着他就遇到了无论如何也无法测量的长度量。
自然数和分数都是可以测量的数（自然数其实也是特殊的分数），但后来人们发现边长可测量（比如边长为1）的正方形，其对角线不可测量，就是说你无论给出多么微小的基本单位，也无法用此极为微小的基本单位来测量，人们把这种不能测量的数叫做实在是没有道理的数，简称无理数，也就是说当时把无法用分数表达的那些数叫做无理数。
在很早以前的“七艺”，即文法、修辞、辩证法、算数、几何、天文、音乐，音乐是被当成“理科”来看待的，和数学是一类的。早期的古希腊包括中世纪时期的作曲家和理论家，都是被当作科学家来看待的。
早期的音乐被分为两类，一种是纯粹的音乐理论，另一种则是表演方法，音乐的纯理论方面则几乎与数学重合。
古希腊的毕达哥拉斯学派，利用那个时期所有的数学工具：有理数和分数。在绝大多数情况下，如果两个声音的频率的比接近于简单的整数比1：1、2：3、3:4等这样的简单分数，那么这样的声音便会非常动听。这个律学系统叫做“纯律”。
欧拉写下了《音乐新理论的尝试》，他试图把数学和音乐结合起来，有人称该书是一部专门为“精通数学的音乐家”和“精通音乐的数学家”而写的著作。
我们今天在网络上听到的各种乐器的声音，大部分都是用“数学理论”和“算法”调制出来的，有的音色甚至达到了以假乱真的效果。
音乐本身就是建立在数学规律基础上的，可以说音乐是数学理论的某种物理表现形式。喜欢数学的同学，通常也都会喜欢音乐。
“音程之比越简单，和声越和谐。这是真的吗？”毕达哥拉斯反躬自问道。“宇宙和谐”信念已从直觉上暗示了他，但他仍然决定反复实验来验证。
《物理学发展史》中，物理学家乔治·伽莫夫评价琴弦定律：“这一发现大概是物理定律的第一次数学公式表明，完全可以认为是今天所谓理论物理学发展的第一步。”
当琴弦的长度为2:1的时候，可产生八度音。当琴弦的长度为3:2的时候，可产生五度音。当琴弦长度为4:3的时候，可产生四度音。毕达哥拉斯发现，这些简单的数字比例能构成一个音阶所需要的所有音。
毕达哥拉斯率先实现了数学证明，说明了宇宙的运行规律并不需要神的存在，因为仅利用无懈可击的逻辑推理(逻辑主要归功于稍晚的希腊哲学家苏格拉底、柏拉图和亚里士多德)就能完全确定命题的正确或错误。今天的数学和科学的方法几乎全基于此。
毕达哥拉斯认为宇宙就是一个数学系统，如果有上帝的话，上帝就是个数学家，“万物皆数”。他认为数能解释并主宰宇宙万物。
在今天，所有现实世界的一切都被数字化转型，数据正在成为一种新的“信仰”，毕达哥拉斯恐怕是最有资格成为这个“拜数据教”的“教主”。
毕达哥拉斯派是非常玄的神秘派，他定了很多莫名其妙的规矩：
禁食豆子。
东西落下了，不要用手拣起来。
不要迈过门闩。
不要吃整个的面包。
不要坐在斗上。
不要吃心。
房里不许有燕子。
不要在光亮的旁边照镜子。
等等。。。
三分损益律，我国春秋中期管仲撰写的《管子·地员篇》中提出的 “三分损益律” 是我国，也是世界上最早的音律学文献。“三分损益律” 的原文为：
“凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足以生商。有三分而复于其所，以是生羽。有三分去其乘，适足以是成角。”
文中先定义“宫”音的弦长。将弦长增加三分之一称为 “三分而益之以一”，减少三分之一称为 “三分而去其乘”。陆续生成 “徵、商、羽、角”。作为中国古代五声音阶的 5 个音调符号。
对以上文字分句解释如下：
“先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首以成宫。” 是指黄钟宫音的弦长为 34＝9×9＝81。
“三分而益之以一，为百有八，为徵。” 是指徵音的弦长为 81×4/3＝108。
“不无有三分而去其乘，适足以生商。” 是指商音的弦长为 108×2/3＝72。
“有三分而复于其所，以是生羽。” 是指羽音的弦长为 72×4/3＝96。
“有三分去其乘，适足以是成角。” 是指角音的弦长为 96×2/3＝64。
音 徵(G) 羽(A) 宫(C) 商(D) 角(E) 徵*(G*)
弦长 108 96 81 72 64 54
音程 9/8 32/27 9/8 9/8 32/27
因为分数而杀人的事件：
毕达哥拉斯坚信，世界上的数字均可以用整数或者整数之比（即分数）来表示。但是毕达哥拉斯的学生之一希帕索斯(Hippasus)却发现，若根据勾股定理计算边长为1的正方形的对角线，其值（√2）不能用任何一个整数之比来表示，这是人类发现的第一个无理数。
这一发现触犯了毕达哥拉斯学派的信条，希帕索斯后被毕达哥拉斯投海溺毙。这次事件被称作数学历史上的第一次危机，它否定了一切数都是有理数的结论。
