说一说音程的数学原理，从纯律到平均律，音程计算符合对数定律

乐理知识  2026/2/13 11:28:38   老贾/吉他福   访问量 44 支持 1 中立 0 反对 0

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音程是指两个音的音高之间的距离，那么如何用数学方程物理学公式表示这种距离？



毕达哥拉斯

两千多年前的古希腊，博学大师毕达哥拉斯，他发现琴弦的音高和弦长之间有简单的数字比例关系。

毕达哥拉斯确定下来的音程关系：

2/1 对应八度音程
3/2 对应五度音程
4/3 对应四度
9/8 对应二度音
……

“音程之比越简单，和声越和谐。”

反之，当比例数过于复杂，听上去就会刺耳。



在此发现的基础上，毕达哥拉斯成功的确定出七声音阶的各种比例关系。

以此理论的音高系统的定律方法叫做“纯律”，即用简单的比例数来确定音级之间的弦长关系。

现代物理学

现在弦的振动问题，已经从数学角度得到全面清晰的解析。

琴弦振动不是单一频率的音，而是基于基频振动频率的整数倍谐波的叠加（谐波就是泛音）：

基频方程 u=sin(x)cos(ct)
二次谐波 u=sin(2x)cos(2ct) 即一个八度音程
三次谐波 u=sin(3x)cos(3ct) 即是一个纯5度
……

琴弦的振动虽然是驻波，但波动方程跟行波大同小异。



平均律

现在的国际通用音高频率表，并不是如上面简单数字比例数的数学形式，而是采用了更为均衡的“十二平均律”。

必须明确，十二平均律里的音程关系已经不是简单的比例数关系了，跟谐波或泛音的频率关系也非常不同。

把一个八度音程平分成12份，这就是12平均律了，计算如下：

第一步：八度音程的比例数就是 1/2

第二步：把12个半音的比例数设置为公比常数Q，使得相邻半音比例数都是Q

第三步：列出每个音的比例数，如下

0品：1
1品：1/Q
2品：1/Q/Q
3品：1/Q/Q/Q
……
11品：1/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q
12品：1/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q/Q = 1/2

12品显然就是1/2弦长的八度音，则得出数学计算式 Q^12 = 2，或者计算倒数也一样，即 q^12=1/2



平均律的定音，每个音之间的音程距离都是完全一样的比例关系，虽然不是简单比例数，但无论如何转调都是完全相同的比例数，这样就解决了调高转换的音程均衡性问题。

音程与和谐

纯律里的音程最为和谐，原因是他非常符合谐波泛音原理，但平均律里的音程关系就很多都不完全和谐了。

计算纯律音程和平均律音程的差别：

纯律五度就是 2/3 = 0.666666666…
平均律五度是 q^7 = 0.667419927……

虽然相差看起来不大，但实际上人耳听觉上已经可以区分。



按频率计算音程

按照上面的数学计算公式，则要计算两个音的音程关系：

第一步：得到音的频率，比如a赫兹和b赫兹

第二部：计算 a/b

第三步： 计算结果是q的几次方 n = log q（a/b） ，则就是几个半音

第四步：按照音乐音程理论确定音程度数和性质

上面计算中的关键一步是取对数， n = log q（a/b）= log q（a）- log q（b），所以对于人耳听起来的“相减感觉”，实际上是对数的相减，即说两个音之间的距离实际上是“取对数后的距离感”。。



对数和感觉

奇妙的规律：人的感觉系统，对于于数学的比例关系可称作“对数意识”。

对数定律是数学与心理学领域的基本定律。定律描述感觉强度与刺激强度的对数关系，公式为 S = K log R

不仅音高的音程关系是取对数，更为常见的是音的强度，响度单位分贝dB就是对数，20*log10 (p1/p2)